如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知OA：

如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知OA：

解：（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，由S△ABC=1 2 AB×OC=15，得1 2 ×6m×5m=15，解得m=1（舍去负值），∴A（-1，0），B（5，0），C（0，-5），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），将C点坐标代入，得a=1，∴抛物线解析式为y=（x+1）（x-5），即y=x2-4x-5；（2）∵B（5，0），C（0，-5），∴直线BC的解析式为：y=x-5，∵点M的运动时间为t，∴M（0，-2t），∵直线MH平行于直线BC，∴直线MH为y=x-2t，设直线MH与对称轴交于点D，点D的坐标为（2，2-2t），∴DP=（2-2t）-（-3）=5-2t，∴S△PMH=1 2 ×2t（5-2t）=-2t2+5t=-2（t-5 4 ）2+25 8 ，（0＜t＜5 2 ），∴当t=5 4 时，S有最大值是25 8 ；（3）∵抛物线的解析为y=x2-4x-5，∴设点E的坐标为（x，x2-4x-5），又∵抛物线的对称轴为x=2，∴点E到对称轴的距离为1 2 EF=|x-2|，∵以EF为直径的⊙Q与x轴相切，∴|x-2|=|x2-4x-5|，①x-2＞0，x2-4x-5＞0时，即x＞5时，x-2=x2-4x-5，整理得，x2-5x-3=0，解得x=5+ 37 2 ，x=5- 37 2 （舍去），∴x-2=1+ 37 2 ，此时点E的坐标为（5+ 37 2 ，1+ 37 2 ），②x-2＞0，x2-4x-5＜0时，即2＜x＜5时，x-2=-（x2-4x-5），整理得，x2-3x-7=0，解得x=3+ 37 2 ，x=3- 37 2 （舍去），∴-（x-2）=-（3+ 37 2 -2）=1- 37 2 ，此时点E的坐标为（3+ 37 2 ，1- 37 2 ），③x-2＜0，x2-4x-5＞0时，即x＜-1时，-（x-2）=x2-4x-5，整理得，x2-3x-7=0，解得x=3- 37 2 ，x=3+ 37 2 （舍去），∴-（x-2）=-（3- 37 2 -2）=1+ 37 2 ，此时点E的坐标为（3- 37 2 ，1+ 37 2 ），④x-2＜0，x2-4x-5＜0时，即-1＜x＜2时，-（x-2）=-（x2-4x-5），整理得，x2-5x-3=0，解得x=5- 37 2 ，x=5+ 37 2 （舍去），∴x-2=5- 37 2 -2=1- 37 2 ，此时点E的坐标为（5- 37 2 ，1- 37 2 ），综上所述，存在点E：（5+ 37 2 ，1+ 37 2 ），（3+ 37 2 ，1- 37 2 ），（3- 37 2 ，1+ 37 2 ），（5- 37 2 ，1- 37 2 ）使得以EF为直径的⊙Q与x轴相切．点评：本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，三角形的面积，以及二次函数的对称性，（3）中要注意点到直线的距离的表示以及绝对值方程的讨论求解，难度不大，但运算比较麻烦，计算时要认真仔细．