反导数公式及运算法则

反导数公式及运算法则

反导数（不定积分）公式及运算法则

一、基本概念

反导数，也称为原函数或不定积分，是微积分中的一个重要概念。对于给定的函数$f(x)$，如果存在一个函数$F(x)$，使得$F'(x) = f(x)$在某一区间内恒成立，那么称$F(x)$为$f(x)$在该区间上的一个反导数或原函数。记作：

$\int f(x) , dx = F(x) + C$

其中，$C$是任意常数，表示反导数的不唯一性（相差一个常数）。

二、基本公式

1. 幂函数的反导数： $\int x^n , dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C, \quad (n \neq -1)$ 特别地，当$n=-1$时，有： $\int \frac{1}{x} , dx = \ln|x| + C$

2. 指数函数的反导数： $\int a^x , dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ 特别地，当$a=e$（自然对数的底数）时，有： $\int e^x , dx = e^x + C$

3. 对数函数的反导数： $\int \ln x , dx = x\ln x - x + C$

4. 三角函数的反导数： $\int \sin x , dx = -\cos x + C$ $\int \cos x , dx = \sin x + C$ $\int \tan x , dx = -\ln|\cos x| + C$ $\int \cot x , dx = \ln|\sin x| + C$ $\int \sec x , dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$ $\int \csc x , dx = \ln|\csc x - \cot x| + C$

5. 反三角函数的反导数： $\int \arcsin x , dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$ $\int \arccos x , dx = x\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C$ $\int \arctan x , dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$ $\int \text{arccot} , x , dx = x\text{arccot} , x + \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$

三、运算法则

1. 线性性质： $\int [af(x) + bg(x)] , dx = a\int f(x) , dx + b\int g(x) , dx$ 其中，$a$和$b$是常数。

2. 换元法（第一类换元法或凑微分法）： 如果$\int f(\varphi(x))\varphi'(x) , dx$可以看作$\int f(u) , du$的形式（令$u=\varphi(x)$），则： $\int f(\varphi(x))\varphi'(x) , dx = \int f(u) , du = F(u) + C = F(\varphi(x)) + C$

3. 分部积分法（第二类换元法或乘积的积分）： 对于两个可微函数$u(x)$和$v(x)$的乘积的积分，有： $\int u(x)v'(x) , dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) , dx$

4. 积分表的使用： 对于一些复杂或特殊的函数，可以直接查阅积分表得到其反导数。

四、注意事项

1. 在进行不定积分时，要注意被积函数的定义域和值域，确保积分结果在这些范围内有效。
2. 在使用换元法和分部积分法时，要仔细处理积分上下限的变化（在定积分中尤为重要）。
3. 不定积分的结果是一个函数族（相差一个常数），因此在求解实际问题时，可能需要根据具体条件确定这个常数。