判别式法求值域

判别式法求值域

判别式法求值域详解

一、引言

在求解函数的值域时，判别式法是一种常用的方法。它主要适用于一些特定的函数类型，特别是可以转化为关于某个变量的二次方程的函数。通过利用二次方程的判别式（Δ），我们可以确定该方程是否有实数解，从而进一步推断出原函数的值域。

二、基本原理

1. 判别式的定义：对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。当 $\Delta \geq 0$ 时，方程有实数解；当 $\Delta < 0$ 时，方程无实数解。

2. 应用原理：将待求值域的函数进行适当变形，使其形式类似于一个关于某个变量（如 $x$ 或 $y$）的二次方程。然后，根据题目条件或已知信息，确定这个二次方程中某些系数的取值范围。最后，利用判别式来判断该二次方程是否有实数解，进而确定原函数的值域。

三、具体步骤

1. 函数变形：首先，将给定的函数 $f(x)$ 进行适当的变形，得到一个关于 $y$ 的二次方程（如果原函数已经是这种形式，则此步可省略）。

2. 确定系数范围：根据题目条件或已知信息，确定二次方程中各个系数的取值范围。

3. 计算判别式：利用判别式公式 $\Delta = b^2 - 4ac$，计算出二次方程的判别式。

4. 判断实数解情况：根据判别式的正负性，判断二次方程是否有实数解。

   • 当 $\Delta \geq 0$ 时，二次方程有实数解，即存在满足条件的 $x$ 值使得 $y$ 取到对应的值。
   • 当 $\Delta < 0$ 时，二次方程无实数解，即不存在满足条件的 $x$ 值使得 $y$ 取到对应的值。因此，这些 $y$ 值不在函数的值域内。

5. 确定值域：综合以上分析，确定函数的值域。

四、示例解析

例：求函数 $y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}$（$x \neq 1$）的值域。

解：

1. 函数变形：将原函数进行变形，得到 $y(x - 1) = x^2 - x + 1$，即 $yx - y = x^2 - x + 1$，整理得 $x^2 - (y + 1)x + (y - 1) = 0$。

2. 确定系数范围：由于 $x \neq 1$，所以 $x$ 是上述二次方程的根（且不等于 1）。此时，二次方程的系数 $a = 1, b = -(y + 1), c = y - 1$ 已经确定。

3. 计算判别式：计算判别式 $\Delta = [-(y + 1)]^2 - 4 \times 1 \times (y - 1) = y^2 + 2y + 1 - 4y + 4 = y^2 - 2y + 5 = (y - 1)^2 + 4$。

4. 判断实数解情况：由于 $(y - 1)^2 \geq 0$，所以 $\Delta = (y - 1)^2 + 4 > 0$ 对所有 $y \in R$ 都成立。这意味着二次方程对任意 $y$ 值都有实数解（但需要注意 $x \neq 1$ 这一限制条件）。然而，这里的关键是理解：由于 $\Delta > 0$，原函数 $y$ 可以取到所有实数值，但需要排除使 $x = 1$ 的那些 $y$ 值。

   • 当 $x = 1$ 时，代入原函数得 $y = \frac{1^2 - 1 + 1}{1 - 1}$，这是无定义的。因此，我们需要找到使 $x = 1$ 成为二次方程根的 $y$ 值并排除它。将 $x = 1$ 代入二次方程得 $1 - (y + 1) + (y - 1) = 0$，解得 $y$ 无解（这里实际上是在验证我们的变形过程是否正确，因为从原函数就知道 $x \neq 1$）。但更重要的是，我们意识到原函数在 $x \to 1$ 时会趋于无穷大或无穷小（通过洛必达法则或其他极限方法可得），因此 $y$ 不能取到某个具体的有限值（这个值实际上是原函数在 $x = 1$ 处的间断点的左右极限值的集合，但由于 $x \neq 1$，我们不需要求出这个具体的值）。然而，在本例中，由于我们已经知道 $\Delta > 0$ 且没有其他限制条件影响 $y$ 的取值范围（除了 $x \neq 1$ 这一隐含条件），因此可以直接得出 $y$ 的值域为全体实数集 $R$（但严格来说，应理解为除去使 $x = 1$ 的那个“不可达”的点所对应的 $y$ 值；不过在这个特定例子中，这个点并不对应任何有限的 $y$ 值）。

5. 确定值域：综上所述（尽管过程中有些绕弯子），原函数的值域为 $R$（在实际应用中，应根据具体情况和题目要求给出更精确的描述）。