求近十年全国初中数学竞赛试题与答案。（试题与答案分为两份）

求近十年全国初中数学竞赛试题与答案。（试题与答案分为两份）

2013年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）a＋2b 3c＝0ab bc ca1．设非零实数a，b，c，满足则 ） a b c2a＋3b 4c＝011 （A）— （B）0 （C（D）1 222．已知a，b，c是实常数，关于x的一元二次方程ax2 bx c=0有两个非零实根x1，x2，则下列关于x的11一元二次方程中，以 ） x1 x2 （A）c2x2 (b2－2ac)x a2=0 （B）c2x2—(b2－2ac)x a2=0（C）c2x2 (b2－2ac)x—a2=0 （D）c2x2—(b2－2ac)x—a2=03．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E，若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数的为（ ） ．．．（A）OD （B）OE （C）DE （D）AC4．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）（A）3 （B）4 （C）6 （D）83x3y 3x2y2 xy3 455．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：xy=， (x 1) (y 1)—60（xy）z，则20132012„32的值为（ ） 且xyz=6071821546316389 （A）（B）（C） （D 967 967 967 967二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．设a，b是a2的小数部分，则(b 2)3的值为____________．7．如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面积分别为3，4，5，则四边形AEFD的面积是____________．第 1 页 共 7 页．已知正整数a，b，c满足a b2—2c—2=0，3a2—8b c=0，则abc的最大值为__________．9．实数a，b，c，d满足：一元二次方程x2 cx d=0的两根为a，b，一元二次方程x2 ax b=0的两根为c，d，则所有满足条件的数组（a，b，c，d）为___________________________________．10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了__________支圆珠笔．E O D（第3题)（第4题)D （第7题)三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，抛物线y=ax2 bx—3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA，1直线y=—2 1与y轴交于点D，求∠DBC－∠CBE．312．设△ABC的外心，垂心分别为O，H，若B，C，H，O共圆，对于所有的△ABC，求∠BAC所有可能的度数．13．设a，b，c是素数，记x=b c－a，y=c a－b，z=a b－c，当z2=yx－y=2时，a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论．第 2 页 共 7 页4．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，„，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，„，an中都至少有一个为m的魔术数．2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1．【答案】A0故(abc)20．于是 【解答】由已知得abc(2a3b4c)(a2b3c)，1abbcca1abbcca(a2b2c2)，所以2． 222abc22．【答案】B2【解答】由于axbxc0是关于x的一元二次方程，则a0．因为x1x2bc，x1x2，aa11(x1x2)22x1x2b22ac11a2且x1x20，所以c0，且 22，222， 222x1x2x1x2cx1x2cb22aca2112x0，于是根据方程根与系数的关系，以2，2为两个实根的一元二次方程是xc2cx1x2即c2x2(b22ac)xa20．3．【答案】D【解答】因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OA＝OB＝OC＝ADBD是有理数．于是，OD＝OA－AD是有理数． 23题）（第（第3题答题）DC·DOOD2由Rt△DOE∽Rt△COD，知OE，DE都是有OCOC理数，而AC4．【答案】C【解答】因为DCFE是平行四边形，所以DE//CF，且EF//DC． 连接CE，因为DE//CF，即DE//BF，所以S△DEB = S△DEC， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE的面积．连接AF，因为EF//CD，即EF//AC，所以S△ACE = S△ACF．因为BC4CF，所以S△ABC = 4S△ACF．故阴影部分的面积为6．第3/7页5．【答案】C【解答】设201320124m，则3m333m29m27459， 2013201243m33m3m23m16460393239222923455463于是201320123292． 3310360967二、填空题6．【答案】92【解答】由于1a2a3，故ba22，因此(b2)339．27．【答案】20413【解答】如图，连接AF，则有：SAEF4SAEFSBFEBFSBCF5=，SAFDSAFDFDSCDF3SAFD3SAFDSCDFCFSBCF5，SAEFSAEFFESBEF410896，SAFD． 1313204所以，四边形AEFD的面积是．13解得SAEF8．【答案】2013【解答】由已知ab2c20，3a8bc0消去c，并整理得22（第7题答题）b826a2a66．由a为正整数及6a2a≤66，可得1≤a≤3．2若a1，则b859，无正整数解； 若a2，则b840，无正整数解；若a3，则b89，于是可解得b11，b5． （i）若b11，则c61，从而可得abc311612013； （ii）若b5，则c13，从而可得abc3513195． 综上知abc的最大值为2013．22，2，，12)，(t，，0t，0)（t为任意实数）9． 【答案】(1第4/7页abc，abd，【解答】由韦达定理得cda，cdb．由上式，可知bacd． 若bd0，则adb1，c1，进而bdac2． bd若bd0，则ca，有(a，，，． bcd)(t，，0t，0)（t为任意实数）经检验，数组(1，2，，12)与(t，，0t，0)（t为任意实数）满足条件． 10．【答案】207【解答】设x，y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则4x7y2013，xy350，20137yy1(5032y)， 44y1于是是整数．又20134(xy)3y43503y，4所以x所以y204，故y的最小值为207，此时x141．三、解答题211．如图，抛物线yaxbx3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线y求∠DBC∠CBE．1x1与y轴交于点D． 31x1，yax2bx3知，D(0，31x1过点B． 3（第11题）【解答】将x0分别代入y1)，C(0，3)，所以B(3，0)，A(1，0)．直线y将点C(0，3)的坐标代入ya(x1)(x3)，得a1．抛物线yx2x3的顶点为E(1，4)．于是由勾股定理得BC＝CEBE＝因为BC2＋CE2＝BE2，所以，△BCE为直角三角形，BCE90．（第11题答题）2OD1CE1，则∠DBO＝CBE．=．又tan∠DBO= OB3CB3所以，DBCCBEDBCDBOOBC45．因此tanCBE=第5/7页H，O共圆，对于所有的△ABC，求BAC12．设△ABC的外心，垂心分别为O，H，若B，C，所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论． （i）若△ABC为锐角三角形．因为BHC180A，BOC2A，所以由BHCBOC，可得180A2A，于是A60．（第12题答题（i））（ii）若△ABC为钝角三角形．（第12题答题（ii））当A90时，因为BHC180A，BOC2180A，所以由BHCBOC180，可得3180A180，于是A120。当A90时，不妨假设B90，因为BHCA，BOC2A，所以由BHCBOC180，可得3A180，于是A60．（iii）若△ABC为直角三角形．当A90时，因为O为边BC的中点，B，C，H，O不可能共圆， 所以A不可能等于90；当A90时，不妨假设B90，此时点B与H重合，于是总有B，C，H，O共圆，因此A可以是满足0A90的所有角．综上可得，A所有可能取到的度数为所有锐角及120．13．设a，b，c是素数，记xbca，ycab，zabc，当z2y,2时，a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论．【解答】不能．111(yz)，b(xz)，c(xy)． 222112z(z1)2因为yz，所以a(yz)(zz)．222又由于z为整数，a为素数，所以z2或3，a3．依题意，得a当z2时，yz24，x2)216．进而，b9，c10，与b，c是素数矛盾；第6/7页当z3时，abc0，所以a，b，c不能构成三角形的三边长．14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，…，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，…，an中都至少有一个为m的魔术数．【解答】若n≤6，取m1，2，„，7，根据抽屉原理知，必有a1，a2，…，an中的一个正整数M是i，j(1≤i＜j≤7)的公共的魔术数，即7|(10Mi)，7|(10Mj)．则有7|(ji)，但0＜ji≤6，矛盾．故n≥7．又当a1，a2，…，an为1，2，„，7时，对任意一个正整数m，设其为k位数（k为正整数）．则10im（i1，，2„，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数i，j(1≤i＜j≤7)，满足7|[(10kjm)(10kim)]，即7|10k(ji)，从而7|(ji)，矛盾．故必存在一个正整数i(1≤i≤7)，使得7|(10kim)，即i为m的魔术数． 所以，n的最小值为7．