全微分的定义公式

全微分的定义公式

全微分是多元函数微分学中的一个重要概念，它描述了多元函数在某一点处沿任意方向的变化率。以下是全微分的定义及公式：

定义

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的某个邻域内有定义，当该点的自变量 $x$ 和 $y$ 分别有增量 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 时（且 $\Delta x$，$\Delta y$ 不同时为零），函数 $f(x, y)$ 对应的增量为：

$$\Delta z = f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y)$$

如果存在常数 $A$ 和 $B$，使得函数 $f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处的增量 $\Delta z$ 可表示为：

$$\Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho)$$

其中 $\rho = \sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}}$，$o(\rho)$ 是 $\rho$ 的高阶无穷小量，那么称函数 $f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处可微，并称 $A\Delta x + B\Delta y$ 为函数 $f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处对应于自变量增量 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 的全微分，记作 $df(x, y)$ 或 $dz$，即：

$$df(x, y) = dz = A\Delta x + B\Delta y$$

公式

若函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处可微，则全微分 $dz$ 可以表示为：

$$dz = \frac{\partial f}{\partial x}(dx) + \frac{\partial f}{\partial y}(dy)$$

其中，$\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 分别是函数 $f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处对 $x$ 和 $y$ 的偏导数；$dx = \Delta x$ 和 $dy = \Delta y$ 分别是自变量 $x$ 和 $y$ 的微小增量。

这个公式表明，多元函数在某一点处的全微分等于该函数在该点对各个自变量的偏导数与相应自变量微小增量的乘积之和。